Identités algébriques

Les identités algébriques sont un ensemble important de formules en mathématiques. Elles constituent la base de l’algèbre et sont utiles pour effectuer des calculs en étapes simples et faciles. Certains problèmes d’algèbre nécessitent de franchir de nombreuses étapes mathématiques pour obtenir la réponse. Ici, avec l’utilisation des identités algébriques, nous sommes en mesure d’effectuer les calculs sans aucune étape supplémentaire.

Une identité algébrique signifie que le côté gauche de l’équation est identiquement égal au côté droit, pour toutes les valeurs des variables. Nous allons essayer ici de nous familiariser avec toutes les identités algébriques, leurs preuves, et comment utiliser ces identités dans nos calculs mathématiques. Lisez aussi cet article sur la notion d’identité remarquable, en savoir plus ici.

Qu’est-ce que les identités algébriques ?

Les identités algébriques sont des équations en algèbre où la valeur du côté gauche de l’équation est identiquement égale à la valeur du côté droit de l’équation. Elles sont satisfaites avec n’importe quelle valeur des variables. Prenons un exemple pour mieux comprendre. Considérons les équations suivantes : 5x – 3 = 12, 10x – 6 = 24, et x2 + 5x + 6 = 0. Ces équations ne sont satisfaites que pour certaines valeurs de x et ne fonctionnent pour aucune valeur en général. Considérons maintenant l’équation x2 – 9 = (x + 3)(x – 3). Notez que cette équation est satisfaite pour toute valeur de x (essayez de substituer n’importe quel nombre à x à gauche et à droite, vous devriez obtenir la même réponse).

Ils sont utiles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Les quatre identités algébriques de base sont les suivantes .

• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
• (x + a)(x + b) = x2 + x(a + b) + ab

Identités à deux variables

Voici les identités en algèbre à deux variables. Ces identités peuvent être facilement vérifiées en développant le carré/cube et en faisant une multiplication polynomiale. Par exemple, pour vérifier la première identité ci-dessous, (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. De la même manière, on peut vérifier les autres identités.

• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
• (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Exemple : Développez (2x + y)2.

Solution :

Pour développer l’expression donnée, substituez a = 2x et b = y dans (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(2x + y)2 = (2x)2 + 2(2x)(y) + y2
= 4×2 + 4xy + y2

Identités à trois variables

Les identités algébriques à trois variables ont également été dérivées de la même manière que les identités à deux variables. En outre, ces identités sont utiles pour travailler simplement sur les expressions algébriques avec le moins d’étapes possible.

• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
• a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ac)
• a3 + b3 + c3 -. 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ca – bc)
• (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + ac + bc) – 2abc

Exemple : Lorsque a + b + c = 0, quelle est la valeur de a3 + b3 + c3 ?

Solution :

Selon l’une des identités ci-dessus,
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ca – bc)
Substituant (a + b + c) = 0, on obtient
a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 (a2 + b2 + c2 – ab – ca – bc)
a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc

En dehors des identités qui sont listées ci-dessus, il y a d’autres identités algébriques que nous utiliserons dans les classes supérieures. Consultez-les sur la page Identités algébriques Formule et exemples.

Identités de factorisation

Les identités algébriques sont grandement utiles pour factoriser facilement les expressions algébriques. Grâce à ces identités, certaines des expressions algébriques les plus élevées, comme a4 – b4, peuvent être facilement factorisées à l’aide des identités algébriques de base comme a2 – b2 = (a – b)(a + b). La liste ci-dessous présente un ensemble d’identités algébriques utiles pour la factorisation des polynômes.

• a2 – b2 = (a – b)(a + b)
• x2 + x(a + b) + ab = (x + a)(x + b)
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
• a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Exemple : a4 – b4 = (a2)2 – (b2)2
= (a2 – b2) (a2 + b2)
= (a – b)(a + b)(a2 + b2)

Preuves des identités algébriques

Les preuves suivantes des identités algébriques nous aideront à comprendre visuellement chacune des identités et à mieux la comprendre. Voyons les preuves de chacune des identités algébriques de base.

Preuve de (x + a)(x + b) = x2 + x(a + b) + ab

(x+a)(x+b) n’est rien d’autre que l’aire d’un rectangle dont les côtés sont respectivement (x+a) et (x+b). L’aire d’un rectangle dont les côtés sont (x+a) et (x+b) en fonction des aires individuelles des rectangles et du carré est x2, ax, bx et ab. En additionnant toutes ces aires, on obtient x2 + ax + bx + ab. Cela nous donne la preuve de l’identité algébrique (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + x(a + b) + ab.

Preuve de (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

L’expression algébrique (a+b)2 n’est rien d’autre que (a+b) × (a+b). On peut la visualiser comme un carré dont les côtés sont (a+b) et l’aire est (a+b)2. Le carré dont le côté est (a + b) peut être visualisé comme quatre aires de a2, ab, ab et b2. La somme de ces aires a2 + ab + ab + b2 donne l’aire du grand carré (a+b)2. D’où (a+b)2 = a2 + ab + ab + b2.

Preuve de (a + b)(a – b) = a2 – b2

L’objectif est de trouver la valeur a2 – b2, qui peut être prise comme la différence des aires de deux carrés de côtés a unités et b unités respectivement. Cette valeur est égale à la somme des aires de deux rectangles comme présenté dans la figure ci-dessous.

Un rectangle a une longueur de a unités et une largeur de (a – b) unités. On prend un autre rectangle dont la longueur est de (a – b) et la largeur de b unités. On prend ensuite les aires des deux rectangles et on les additionne pour obtenir les valeurs résultantes. Les aires respectives des deux rectangles sont (a – b) × a = a(a – b), et 

(a – b) × b = b(a – b) . Enfin, nous prenons la somme de ces aires pour obtenir l’expression résultante.

a(a – b) + b(a – b) = (a – b) (a + b)

Hérence, a2 – b2 = (a – b) (a + b)

Preuve de (a – b)2 = a2 – 2 ab + b2

De nouveau, considérons (a – b)2 comme l’aire d’un carré de longueur (a – b). Pour comprendre cela, commençons par un grand carré de surface a2. Nous devons réduire la longueur de tous les côtés de b, ce qui donne a – b. Nous devons maintenant enlever les bits supplémentaires de a2 pour obtenir (a – b)2. Dans la figure ci-dessous, (a – b)2 est représenté par la surface bleue. Pour obtenir le carré bleu à partir du carré orange plus grand, nous devons soustraire les bandes verticales et horizontales qui ont l’aire ab. Cependant, en enlevant ab deux fois, on enlève aussi deux fois le carré qui se chevauche dans le coin inférieur droit. Par conséquent, nous ajoutons b2. Nous avons donc (a – b)2 = a2 – ab – ab + b2. Cela prouve donc l’identité algébrique (a – b)2 = a2 – 2ab + b2